NÚMERO ENTERO
Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0. Los enteros negativos, como −1 ó −3 (se leen "menos uno", "menos tres", etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2,...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo "más" delante de los positivos: +1, +5, etc.
−783 y 154 son números enteros
45,23 y −34/95 no son números enteros.
Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.
También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura del Everest es 8848 metros (por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del Mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS.
Las propiedades: signos en suma y resta
(+) + (+) = +
(-) + (-) = -
(+) + (-) = +
(-) + (+) = -
La clausurativa: La suma de los números enteros, da otro número entero.
Ejemplo: 2 + 3 = 5
3 = 5 – 2
= 3
La asociativa: Al sumar varios enteros podemos asociar de a dos sumados.
Ejemplo: 7 + 5 + 17 = (7 + 5) + 17 = 7 + (5 + 17)
12 + 17 = 7 + 22
29 = 29
La conmutativa: La suma de los enteros no altera el resultado.
Ejemplo: - 8 + 3 = 3 – 8 -5 = - 5
La modulativa: La suma de cualquier entero Ạ con el Ọ da el mismo número Ạ.
Ejemplo: 8 + 0 = 0 + 8
8 = 8
La invertida: Dado el número A, siempre es posible encontrar otro entero “- A” tal que al sumarlo resulta un elemento neutro.
Ejemplo: 8 + (-3) = - 8 + 3
5 - 5
0
MULTIPLICACIÓN
Signos:
(+). (+) = +
(+). (-) = -
(-). (-) = +
(-). (+) = -
La clausurativa: El producto de dos números enteros da otro entero.
Ejemplo: 8. 5 = 40
-8. 5 = -40
La asociativa: Al multiplicar varios enteros, podemos asociar de dos factores, para todos.
Ejemplo: 15 - 10 -5 = (15. (-10)-5
= (-150). - 5
= 750
La conmutativa: Al multiplicar números enteros podemos intercambiar el orden del resultado.
Ejemplo: 3. (-5) = -5.3
-15= -15
La modulativa: para toda A perteneciente a los enteros.
Ejemplo: 10.1 = 1.10
10 = 10
La distributiva: para todo A, B, C, E, Z, se cumple está propiedad.
Ejemplo: 6. (-4+7) = 6. (-4) + 6. (7)
= -24 + 42
= 18
La recolectiva: A, B, C, E, F factor común.
Ejemplo: 2. 3 + 2. 6 = 2. (3 + 6)
18 = 18
Resta con negativos. La resta de dos números naturales no es un número natural cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, sino que su valor es negativo: en la imagen, sólo pueden sustraerse 3 plátanos, por lo que se apunta un plátano "debido" o "negativo" (en rojo).
UNIDADES DE MEDIDA
Medida de longitud
1 centímetro = 0,3937008
1 metro = 3 9,37008 pulgadas
1 kilometro = 1093,611 yardas
1 pie = 30,48006 centímetros
Medidas de líquido
1 galón americano = 0,1387 pies cúbicos
1 litro = 0,03531 pies cúbicos
1 litro = 0,001 metros cúbicos
1 pie cubico = 28,317 litros
Medidas de temperatura
1 grado Celsius a farenheit
F = 9/5 (oc+32o) centígrados
1 grado farenheit a Celsius
oc = 5/9 (of – 32o) centígrados
Introducción
Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:
3 − 5 =?
Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar ganancias y pérdidas:
Ejemplo:
Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde 1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, se dice que perdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso: ganó en total o perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se pueden expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es una ganancia negativa.
Números con signo
Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Al añadirles un signo menos («−») delante se obtienen los números negativos:
Un número entero negativo es un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signo menos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera. Se leen "menos 1", "menos 2", "menos 3",... |
Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+») delante y se les llama números positivos.
Un número entero positivo es un número natural como 1, 2, 3,... precedido de un signo más. «+». |
El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados "enteros".
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La recta numérica
Artículo principal: Recta numérica
Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:
Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto:
Ejemplo. |+5| = 5, |−2| = 2, |0| = 0.
El orden de los números enteros puede resumirse en:
El orden de los números enteros se define como: Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor que el positivo: −b < +a. Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es el de menor valor absoluto, si el signo común es "+", o el de mayor valor absoluto, si el signo común es "−" El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos. |
Ejemplo. +23 > −56, +31 < +47, −15 < −9, 0 > −36.
Operaciones con números enteros
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los números naturales. Para realizar operaciones con números enteros, han de utilizarse paréntesis para facilitar la lectura de los cálculos y evitar errores. Por ejemplo, para sumar los números −4 y +3, no se escribe
−4 + +3,
Sino
(−4) + (+3)
Suma
En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del círculo y su color. Se ve que:
-El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.
-El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.
-El valor absoluto del resultado crece si ambos sumandos son del mismo signo (se suman sus valores absolutos) y decrece si son distintos (al mayor se le resta el menor).
En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado.
Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo: Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos. Si ambos sumandos tienen distinto signo: · El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto. · o El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos. |
Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61
La suma de números enteros posee propiedades similares a la suma de números naturales:
La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades: Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales. Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales. Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a. |
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
[(−13) + (+25)] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
(−13) + [(+25) + (+32)] = (-13) + (+57) = (+44)
2. Propiedad conmutativa:
(+9) + (−17) = −8
(−17) + (+9) = −8
Resta
La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo. |
Ejemplo. (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 , (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 , (−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4 , (+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7
Multiplicación
La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado.
En la multiplicación de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera: El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. El signo es "+" si los signos de los factores son iguales, y "−" si son distintos. |
Regla de los signos (+) × (+)=(+)Más por más igual a más. (+) × (−)=(−)Más por menos igual a menos. (−) × (+)=(−)Menos por más igual a menos. (−) × (−)=(+)Menos por menos igual a más. |
Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.
La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades: Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales. Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b × a son iguales. Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por 1: a × 1 = a. |
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
[ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140
(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140
2. Propiedad conmutativa:
(−6) × (+9) = −54
(+9) × (−6) = −54
Propiedades algebraicas
Artículo principal: Propiedades de los números enteros
El conjunto de los números enteros, considerado junto con sus operaciones de suma y producto y su relación de orden, tiene una estructura que en matemáticas se denomina anillo.
Los números enteros pueden además construirse a partir de los números naturales mediante clases de equivalencia.
Número decimal.
Los números decimales son aquellos que tienen parte decimal, por oposición a los números enteros que carecen de ella.
Entre los números racionales podemos distinguir los decimales exactos, si tienen un número de cifras decimales finitas, y los periódicos si tienen una parte periódica que se repite indefinidamente.
Los números periódicos pueden ser periódicos puros si la parte decimal está formada únicamente por un periodo que se repite indefinidamente, y periódicos mixtos si en la parte decimal hay una parte no periódica y otra periódica.
Notación decimal
En la lengua española en la actualidad se emplean básicamente tres formas de anotar un número con parte decimal, según el signo empleado como separador decimal:
El punto decimal: se emplea un punto (.) para separar la parte entera del decimal, este método es el utilizado en las calculadoras electrónicas y en los ordenadores, rara vez se utiliza en la notación de cifras manualmente.
La coma decimal: se emplea una coma (,) como separador, esta forma en común en las publicaciones y se utiliza también en las notaciones manuales.
El apóstrofe decimal: el apóstrofe (') en ocasiones también llamado coma decimal es la forma usual de separar la parte decimal de un número en las notaciones a mano.
En todos los casos, las cifras decimales, no se separan en grupos con espacios en blanco u otro signo, sino que se escriben seguidas, sea cual sea el número de cifras decimales que forme la parte decimal del número en cuestión.
Números decimales
Como ya se ha dicho los números decimales son los que tienen una parte decimal, pudiendo diferenciarse los siguientes casos:
1. Números racionales.
1. Racionales exactos.
2. Racionales periódicos.
1. Decimal periódico puro.
2. Decimal periódico mixto.
2. Números irracionales.
Números racionales
Artículo principal: Número racional
Si una cantidad se puede expresar como la fracción de dos enteros es un número racional:
Siendo a y b números enteros, según los valores de a y b tendremos la forma de c.
Racionales exactos
Si la división entre a y b finaliza con un resto cero, el número de cifras decimales de c es finito.
Partiendo de un número racional exacto, para obtener la fracción equivalente es suficiente con indicar por numerador el número racional sin separador decimal, y por denominador el uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal, esta fracción se puede simplificar si es posible, veamos un ejemplo:
Racionales periódicos
Artículo principal: Número periódico
Si partiendo de un número racional representado por la fracción:
La división entre a y b no da por resto cero, obtendremos una serie infinita de decimales, que presentara un patrón o periodo que se repetirá indefinidamente, si toda la parte decimal está formada por ese patrón tendremos un número decimal periódico puro, si el patrón empieza a repetirse tras unas cifras decimales tendremos un número decimal periódico mixto.
Decimal periódico puro
Partiendo de un número decimal cuya parte decimal se repite periódicamente, la parte periódica la señalamos con la línea horizontal superior:
Para obtener la fracción equivalente, tomaremos la parte entera más la parte decimal dividido por tantos nueves como cifras tiene la parte decimal periódica:
Decimal periódico mixto
Dado un número decimal en cuya parte decimal hay una parte no periódica y otra periódica, y señalando la parte periódica la una línea horizontal superior.
Podemos obtener la fracción equivalente sumando a la parte entera, la no periódica dividida entre la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica, más la parte periódica dividida entre tantos nueves como cifras tiene la parte periódica seguidos de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica.
La comprobación del resultado se puede hacer realizando la división.
NÚMEROS FRACCIONARIOS
Una fracción es un número que se obtiene dividiendo un número con otro.
Suelen combinarse en estas formas.
12/3 =4
Clasificación de fracciones
Se clasifican en:
Fracción propia: en la que el numerador es menor que el denominador.
Las fracciones propias son las que mejor responden a la denominación de fracciones ya que son parte de la unidad, también se llaman fracciones simples.
Ejemplo:
¾
Fracción impropia: son en las que el numerador es mayor que el denominador.
Si la fracción se escribe como un número entero seguido de una fracción simple por ejemplo: se trata de una fracción mista.
Que es una equivalencia: son dos o más fracciones aparentemente diferentes que pueden representar la misma fracción.
NUMEROS DECIMALES
Un número decimal es un número escrito en un sistema de base 10 en cada digito, según su posición original, señala la cantidad de unidades, decenas, centenas, miles, decimas, centésimas, milésimas.
Contiene una coma que separa la parte entera de la parte no entera del número.
Ejemplo: 192,3468
10 = 0,1 una decima
100 = 0, 001una milésima
1000= 0,0001 una diez milésima
10000= 0,00001 una cien milésima
100000= 0,000001 una millonésima
Operaciones con números decimales
Suma de números decimales: para sumar dos o más números decimales se colocan en la columna haciendo coincidir las comas, después se suman como si fueran números naturales y se pone en el resultado la coma bajo la columna de las comas.
Ejemplo:
142,36
12,435
8,7
__________
163,495
Resta de números decimales: para restar números decimales se coloca en la columna haciendo coincidir las comas. Si los números no tienen el mimo número de cifras decimales se completan con 0 las cifras que faltan. Después se escriben como si fueran números naturales y se pone el resultado las comas bajo la columna de las comas.
Ejemplo:
9,1 – 3,82= 9,10
3,82
_______
5,28
Multiplicación de números decimales: la multiplicación de números decimales por la unidad seguida de 0. 10, 100, 1000, 10000. Se desplaza la coma a la derecha tantos lugares como 0, tenga la unidad
Ejemplo:
4,1 x 10 = 41
4,1 x 100 = 410
4,1 x 1000 = 4100
Multiplicación de números enteros: para multiplicar dos números decimales, se efectúa la operación como si fuesen números naturales y en el producto se separaran tantas cifras decimales tenga entre los dos factores.
Ejemplo:
4,31 x
2,6
________
2586
862
________
11,206
División de números decimales: para dividir un número decimal por la unidad seguida de 0. 10, 100, 1000, se desplaza la coma a la izquierda tantos lugares como 0 tenga la unidad.
24,1 ÷ 10 = 2,42
24,2 ÷ 100 = 0,242
24,2 ÷ 1000 = 0,0242
